Oblast: Linearne jednačine, nejednačine, sistemi, linearna funkcija
Lekcija: Sistemi tri jednačine sa tri nepoznate – Gausov metod
Razred: 1. razred srednje škole

Razmatramo rešavanje sistema od tri linearne jednačine sa tri nepoznate x, y i z:

gde su a₁, b₁, c₁, d₁, a₂, b₂, c₂, d₂, a₃, b₃, c₃, d₃ realni brojevi.

Gausov metod podrazumeva postepenu eliminaciju nepoznatih iz datog sistema.

Pretpostavimo da je a1≠0. Prva jednačina u sistemu se pomnoži brojem –^a2/_a1  i dodaje drugoj jednačini (sabira sa drugom jednačinom). Zatim, prva jednačina se množi sa –^a3/_a1  i

dodaje trećoj jednačini. Ovaj postupak prikažimo u dve kolone.

Prva (početna) jednačina se prepisuje, a ispod nje dve jednačine koje smo dobili:

Ovaj sistem je ekvivalentan početnom, a u drugoj i trećoj jednačini više nema nepoznate x. Neka su izrazi u drugoj i trećoj jednačini izračunati i neka iznose:

Sada sistem možemo preglednije da se napiše:

Neka je dalje e2≠0. Druga jednačina se pomnoži brojem – ^e3/_e2  i dodaje trećoj jednačini.

Prepisujemo prvu i drugu jednačinu, i dodajemo treću koju smo dobili:

Dakle, iz treće jednačine je eliminisana nepoznata y. Neka su izrazi u trećoj jednačini

i sad lakše vidimo da je sistem oblika

Nepoznata z se izračunava iz treće jednačine, zatim se uvrštava u drugu jednačinu odakle se dobija y, a onda se y i z uvrste u prvu jednačinu odakle se dobija x.

Zadaci i testovi za vežbanje