Oblast: Mnogougao
Lekcija: Površina mnogougla
Razred: 7. razred osnovne škole
Prilikom izračunavanja površine mnogougla u opštem slučaju koristimo činjenicu da se svaki mnogougao može podeliti na trouglove. Zbir površina svih tako dobijenih trouglova predstavlja površinu mnogougla.
Na sledećoj slici je dat šestougao podeljen na četiri dela, pa će njegova površina biti:
Mnogouglovi se mogu na više načina podeliti na trouglove. Biramo onaj način koji će nam omogućiti da što preciznije izmerimo potrebne elemente (strana i njoj odgovarajuća visina) za izračun površine trouglova.
Neke mnogouglove je moguće podeliti na trouglove i četvorouglove čije površine lako izračunavamo kao što su kvadrat ili pravougaonik. U tom slučaju površina mnogougla bi bila jednaka zbir površina svih trouglova i četvorouglova.
Razmotrimo mnogouglove u koje se može upisati kružnica (kružnica dodiruje sve stranice mnogougla). Takve mnogouglove možemo podeliti na trouglove koji će imati zajedničko teme u centru kružnice i čije su visine (na odgovarajuću stranicu) jednake poluprečniku kružnice. Na slici 2. je prikazan četvorougao u koji je upisana kružnica, njegova površina je:
Kao što znamo, pravilni mnogougao sa n stranica se može podeliti na n podudarnih jednakokrakih trouglova koje nazivamo karakterističnim trouglovima. To znači da smo podelom dobili trouglove jednakih površina. Površina jednog od tih trouglova se računa preko formule:
gde je a dužina stranice mnogougla, a ha visina karakterističnog trougla.
Sledi da je površina pravilnog mnogougla sa n stranica jednaka:
Kako visina ha predstavlja ujedno i poluprečnik upisane kružnice r, predhodnu formulu možemo da zapišemo i kao:
Na slici 3. je prikazan pravilan sedmougao stranice a, njegova površina je:
